题目内容

已知圆O:x2+y2=1,圆O1:(x-acosθ)2+(y-bsinθ)2=1(a、b为常数,θ∈R)对于以下命题,其中正确的有________.
①a=b=1时,两圆上任意两点距离d∈[0,1]
②a=4,b=3时,两圆上任意两点距离d∈[1,6]
③a=b=1时,对于任意θ,存在定直线l与两圆都有公共点
④a=4,b=3时,对于任意θ,存在定直线l与两圆都有公共点.

②③
分析:由已知条件知两圆中一个是原点为圆心,半径是1的圆,另一个是圆为(acosθ,bsinθ)半径是1的圆,由此根据四个命题的题面,进行它们的正误,找出正确命题
解答:①a=b=1时,两圆上任意两点距离d∈[0,1],此命题不正确,当a=b=1时,可求得两圆心之间的距离是1,且动圆的圆心在定圆上,故两圆相交,由此知,两圆上任意两点之间的距离最小值是0,最大值是两圆的连心线与两圆的交点中距离较远的两点,它们的距离是3,故两圆上任意两点距离d∈[0,1],不正确;
②a=4,b=3时,两圆上任意两点距离d∈[1,6],此命题正确,因为a=4,b=3时可求得两圆距离是,其范围是[3,4],又两圆半径是1,故最远两点间距离是6,最近两间距离是1,即两圆上任意两点距离d∈[1,6];
③a=b=1时,对于任意θ,存在定直线l与两圆都有公共点,此命题正确,由于动圆过定圆的圆心,故过定圆圆心的任意一条直线都与两圆有公共点,由此知a=b=1时,对于任意θ,存在定直线l与两圆都有公共点正确;
④a=4,b=3时,对于任意θ,存在定直线l与两圆都有公共点.此命题不正确,由②的证明知,两圆没有公共点,故不可能找到一条直线当对于任意θ,存在定直线l与两圆都有公共点
综上知②③是正确命题
故答案为②③
点评:本题考查圆方程的应用,解答本题,关键是掌握圆方程的几何意义,由圆的方程找出圆的圆心与圆的半径来,且能根据这此量判断出两圆的位置关系,本题综合性强,比较抽象,判断时可以借助图象辅助理解判断.
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