Question

【题目】已知函数f（x）= 的图象过点（0，﹣1）．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）=m+ （m，n是常数），求实数m，n的值；
（3）用定义法证明：函数f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，已知函数f（x）= 的图象过点（0，﹣1），

则有﹣1= ，解可得a=3，

（2）解：由（1）可得，a=3，则f（x）= = =1+ ，

若f（x）=m+ ，

即m+ =1+ ，

则必有m=1，n=6；

（3）解：证明：由（2）可得，f（x）=1+ ，

设x1＞x2＞3，

则f（x1）﹣f（x2）=（1+ ）﹣（1+ ）= ﹣ = ，

又由x1＞x2＞3，则（x1﹣3）＞0，（x2﹣3）＞0，（x2﹣x1）＜0，

故f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函数f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．

【解析】（1）、由函数图象过点（0，﹣1），可得﹣1= ，解可得a的值；（2）、由（1）可得a的值，代入可得f（x）= = =1+ ，结合题意，可得m+ =1+ ，比较分析可得m、n的值；（3）、由（2）可得函数的解析式为f（x）=1+ ，设x1＞x2＞3，用作差法可得f（x1）﹣f（x2）=（1+ ）﹣（1+ ）= ﹣ = ，分析（x1﹣3）、（x2﹣3）和（x2﹣x1）的符号，可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由函数单调性的定义可得证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．