Question

20．已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（1）求不等式f（x）≤-1的解集；
（2）若存在x₀∈[-2，2]，使不等式f（x₀）≥|2t-1|成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）根据函数的单调性求得函数f（x）在[-2，2]上的最大值为3，可得3≥|2t-1|，由此求得t的范围．

解答 解：（1）由于f（x）=|x+2|-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x＜-2}\\{3x，-2≤x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}\right.$，故由不等式f（x）≤-1可得：
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{x-4≤-1}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x＜1}\\{3x≤-1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{-x+4≤-1}\end{array}\right.$．
解①求得x＜-2，解②求得-2≤x＜-$\frac{1}{3}$，解③求得x≥5．
综上可得，不等式f（x）≤-1的解集为{x|x＜-$\frac{1}{3}$，或 x≥5}．
（2）由（1）可得函数f（x）在[-2，1]上单调第增，在（1，2]上单调递减，
故函数f（x）在[-2，2]上的最大值为f（1）=3，
再根据存在x₀∈[-2，2]，使不等式f（x₀）≥|2t-1|成立，可得3≥|2t-1|，
即-3≤2t-1≤3，求得-1≤t≤2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．