题目内容
【题目】如图1，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，点E在
上，且
，将三角形
沿线段
折起到
的位置，
（如图2）.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）在线段
上存在点F，满足
，求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
，推导出
，
，从而
平面
，由此能证明平面
平面．
（Ⅱ）取
中点
，连结
，推导出
，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：取中点，连结，
在直角梯形
中，
，
，
，
，
，
点
在
上，且
，将三角形
沿线段折起到的位置，
，
，
，
在
中，
，，
，
，
在
中，
，，
，
，
，
，
，
，
平面，
又
面
，平面平面．
（Ⅱ）解：取中点，连结，
，，，
，
面，
，，两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，
，
，
，
，2，，
，0，，
又
是中点，
，2，，
，0，
，
，1，，
，3，，又
，
，
设平面的法向量
，
，
，
，4，，
，
，
，
则
，取
，得
，1，
，
平面的法向量
，0，，
设平面与平面所成的锐二面角为
，
则
，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
．
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