题目内容
4.设函数f(x)=x3-2x2+x+1,求:(1)求在点(2,3)处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程;
(2)由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间,即可得到极值.
解答 解:(1)函数f(x)=x3-2x2+x+1的导数为
f′(x)=3x2-4x+1,
即有在点(2,3)处的切线斜率为12-8+1=5,
则在点(2,3)处的切线方程为y-3=5(x-2),
即为5x-y-7=0;
(2)由f′(x)>0,可得x>1或x<$\frac{1}{3}$;
由f′(x)<0,可得$\frac{1}{3}$<x<1.
可得f(x)的增区间为(1,+∞),(-∞,$\frac{1}{3}$),
减区间为($\frac{1}{3}$,1).
即有x=1处取得极小值,且为1,
x=$\frac{1}{3}$处取得极大值,且为$\frac{31}{27}$.
点评 本题考查导数的应用:求切线的方程和单调区间、极值,考查运算能力,属于基础题.
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