Question

已知f（x）=x³+mx²+x+5，存在实数x_o使f′（x_o）=0，又f（x）是R上的增函数，则m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  3

  ]∪[

  3

  ，+∞)
• B、{-

  3

  ，

  3

  }
• C、（-∞，-

  3

  )∪(

  3

  ，+∞)
• D、[-

  3

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：求出f（x）的导函数，由存在实数x_o使f′（x_o）=0，又f（x）是R上的增函数，得到导函数大于等于0恒成立，根据导函数为开口向上的抛物线可知，根的判别式小于等于0时满足题意，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答：解：由f（x）=x³+mx²+x+5，得到f′（x）=3x²+2mx+1，又存在实数x_o使f′（x_o）=0，
因为f（x）是R上的增函数，所以f′（x）=3x²+2mx+1≥0恒成立，
则△=4m²-12≤0，即（m+

3

）（m-

3

）≤0，解得-

3

≤m≤

3

，
所以m的取值范围是[-

3

，

3

]
故选D

点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断函数的单调性，掌握函数恒成立时所满足的条件，是一道中档题．