题目内容
已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2•a4=65，a1+a5=18．（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；
（3）是否存在常数k，使得数列{
| Sn+kn |
分析：（1）利用等差数列的性质得到a2+a4=18，利用韦达定理得到a2，a4二次方程的两个根，求出两个根，利用等差数列的通项列出方程组，求出首项与公差，求出通项．
（2）利用（1）中求出的通项求出a1，ai，a21，根据它们成等比数列；列出方程求出i的值．
（3）利用等差数列的前n项和公式求出Sn，假设存在k，使数列为等比数列，求出数列的前三项，前三项成等比数列，列出方程求出k的值．
（2）利用（1）中求出的通项求出a1，ai，a21，根据它们成等比数列；列出方程求出i的值．
（3）利用等差数列的前n项和公式求出Sn，假设存在k，使数列为等比数列，求出数列的前三项，前三项成等比数列，列出方程求出k的值．
解答：解：（1）解：{an}为等差数列，
∴a1+a5=a2+a4=18，
又a2•a4=65，∴a2，a4是方程x2-18x+65=0的两个根
又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2=5，a4=13．
∴
∴a1=1，d=4
∴an=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，∴a1•a21=ai2，
即1×81=（4i-3）2，
解得i=3．
（3）由（1）知，Sn=n+
×4=2n2-n，
假设存在常数k，使数列{
}为等差数列，
由
+
=2
，
得
+
=2
，
解得k=1．
∴
=
=
n此时有
n-
(n-1)=
，数列{
}为等差数列．
所以存在常数k使得数列{
}为等差数列．
∴a1+a5=a2+a4=18，
又a2•a4=65，∴a2，a4是方程x2-18x+65=0的两个根
又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2=5，a4=13．
∴
|
∴an=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，∴a1•a21=ai2，
即1×81=（4i-3）2，
解得i=3．
（3）由（1）知，Sn=n+
| n(n-1) |
| 2 |
假设存在常数k，使数列{
| Sn+kn |
由
| S1+k |
| S3+3k |
| S2+2K |
得
| 1+k |
| 15+3k |
| 6+2k |
解得k=1．
∴
| Sn+kn |
| 2n2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| Sn+kn |
所以存在常数k使得数列{
| Sn+kn |
点评：解决等差数列、等比数列问题时，常利用首项、公差、公比围绕通项公式及前n项和公式，列方程解；解决是否存在这种开放型的题目，一般假设存在去求，求出即存在．
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