题目内容

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3•a4=117,a2+a5=22,
(1)求通项an
(2)若数列{bn}满足bn=
Snn+c
,是否存在非零实数c,使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值,若不存在,说明理由.
分析:(1)根据等差数列的性质,得出a3、a4是方程x2-22x+117=0的解,解此方程得a3=9且a4=13,再求出{an}的首项和公差,即可得到数列{an}的通项公式;
(2)由(1)的结论,化简得bn=
2n2-n
n+c
.分别令n=1、2、3,得到{bn}的前3项,由2b2=b1+b3解出c=-
1
2
,再将c=-
1
2
回代加以检验,即可得到当c=-
1
2
时,{bn}成以2为首项、公差为2的等差数列.
解答:解:(1)由等差数列的性质,得a3+a4=a2+a5=22,
又∵a3•a4=117,∴a3、a4是方程x2-22x+117=0的解,
结合公差大于零,解得a3=9,a4=13,
∴公差d=a4-a3=13-9=4,首项a1=a3-2d=1.
因此,数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3.
(2)由(1)知:Sn=
n(1+4n-3)
2
=2n2-n,
所以bn=
S n
n+c
=
2n2-n
n+c

故b1=
1
c+1
,b2=
6
c+2
,b3=
15
c+3

令2b2=b1+b3,即
12
c+2
=
1
c+1
+
15
c+3
,化简得2c2+c=0.
因为c≠0,故c=-
1
2
,此时bn=
2n2-n
n-
1
2
=2n.
当n≥2时,bn-bn-1=2n-2(n-1)=2,符合等差数列的定义
∴c=-
1
2
时,bn=2n.(n∈N+
由此可得,当c=-
1
2
时,{bn}成以2为首项、公差为2的等差数列.
点评:本题给出等差数列满足的条件,求数列{an}的通项公式,并依此讨论数列{bn}能否成等差的问题.着重考查了等差数列的通项公式、求和公式和方程组的解法等知识,属于中档题.
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