Question

16．已知函数f（x）=x²+2x|x-a|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，在所给坐标系中作出f（x）的图象；
（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=-x+14图象的下方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）+1=0在区间（-1，0）内有两个相异根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意当a=-1时，$f（x）={x^2}+2x|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+2x，x≥-1\\-{x^2}-2x，x＜-1\end{array}\right.$，据此可作出图象．
（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，只需（f（x）+x）_max＜14．分类讨论求得（f（x）+x）_max ，可得实数a的取值范围．
（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（-1，0）内有两个不同的零点即可．分类讨论，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意当a=-1时，$f（x）={x^2}+2x|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+2x，x≥-1\\-{x^2}-2x，x＜-1\end{array}\right.$，
据此可作出图象如下：
（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），即f（x）+x＜14恒成立，
只需（f（x）+x）_max＜14．
另一方面，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2ax，x＜a}\\{{3x}^{2}-2ax，x≥a}\end{array}\right.$，即 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-（x-a）}^{2}{+a}^{2}，x＜a}\\{{3（x-\frac{a}{3}）}^{2}-\frac{{a}^{2}}{3}，x≥a}\end{array}\right.$．
当a≥0时，f（x）在（-∞，a）和（a，+∞）上均递增，∵f（a）=a²，则f（x）在R上递增，
当a＜0时，f（x）在（-∞，a）和$（\frac{a}{3}，+∞）$上递增，在$（a，\frac{a}{3}）$上递减，
故f（x）在x∈[1，2]上恒单调递增，从而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒单调递增，
则（f（x）+x）_max=f（2）+2=4+4|2-a|+2＜14，即|2-a|＜2，解得0＜a＜4，
故实数a的取值范围是（0，4）．
（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（-1，0）内有两个不同的零点即可．
此时，$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2ax+1\begin{array}{l}，&{（x≤a）}\end{array}}\\{3{x^2}-2ax+1\begin{array}{l}，&{（x＞a）}\end{array}}\end{array}}\right.$，即$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{{（x-a）}^2}+{a^2}+1\begin{array}{l}，&{（x≤a）}\end{array}}\\{3{{（x-\frac{a}{3}）}^2}-\frac{a^2}{3}+1\begin{array}{l}，&{（x＞a）}\end{array}}\end{array}}\right.$，
则由（Ⅱ）可知，
当a≥0时，F（x）=f（x）+1在R上递增，方程f（x）+1=0在区间（-1，0）内至多有一个根，不符合要求，舍去；故a＜0．
当x≤a时，令F（x）=0，可得${x_1}=a+\sqrt{{a^2}+1}$（不符合x≤a，舍去）或${x_2}=a-\sqrt{{a^2}+1}$，
但${x_2}=a-\sqrt{{a^2}+1}＜-\sqrt{{a^2}+1}＜-1$，不在区间（-1，0）内．
当x＞a时，F（x）=3x²-2ax+1在区间（-1，0）内必有两个不同的零点，从而（-1，0）⊆（a，+∞），
所以$\left\{\begin{array}{l}-1＜\frac{a}{3}＜0\\△=4{a^2}-12＞0\\ f（0）＞0\\ f（-1）＞0\\ a≤-1\end{array}\right.$，解得$-2＜a＜-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查函数的图象，函数与方程的综合应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．