题目内容

设两个不共线的向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 的夹角为θ，且 $数学公式$ =3， $数学公式$ ．
（1）若θ= $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值；
（2）若θ为定值，点M在直线OB上移动， $数学公式$ 的最小值为 $数学公式$ ，求θ的值．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （6分）
（2）设 $\text{[math]}$ ，
则显然λ≠0
$\text{[math]}$
①当λ＞0时
$\text{[math]}$
=9+12cosθ•λ+4λ²（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴 $\text{[math]}$ ，
即cosθ＜0
故 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ （10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时
$\text{[math]}$
=9+12cosθ•λ+4λ²（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴 $\text{[math]}$ ，
即cosθ＞0
故 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）．
分析：（1）根据两个不共线的向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，我们代入直接求出 $\text{[math]}$ ；
（2）由点M在直线OB上，我们设 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ ，分类讨论λ＞0（即 $\text{[math]}$ 同向）、λ＜0（即 $\text{[math]}$ 反向）即可求出对应λ的值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模及二次函数的最值问题，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．