题目内容
设两个不共线的向量
，
的夹角为θ，且|
|=3，|
|=2．
（1）若θ=
，求
•
的值；
（2）若θ为定值，点M在直线OB上移动，|
+
|的最小值为
，求θ的值．
| OA |
| AB |
| OA |
| OB |
（1）若θ=
| π |
| 3 |
| OA |
| AB |
（2）若θ为定值，点M在直线OB上移动，|
| OA |
| OM |
| 3 |
| 2 |
分析：（1）根据两个不共线的向量
，
的夹角θ=
，及|
|=3，|
|=2，结合
=
-
，我们代入直接求出
•
；
（2）由点M在直线OB上，我们设
=λ
，结合|
+
|2=
2+2
•
+
2，分类讨论λ＞0（即
与
同向）、λ＜0（即
与
反向）即可求出对应λ的值．
| OA |
| OB |
| π |
| 3 |
| OA |
| OB |
| AB |
| OB |
| OA |
| OA |
| AB |
（2）由点M在直线OB上，我们设
| OM |
| OB |
| OA |
| OM |
| OA |
| OA |
| OM |
| OM |
| OM |
| OB |
| OM |
| OB |
解答：解：（1）
•
=
•(
-
)=-
2+
•
=-|
|2+|
||
|cosθ=-9+3×2×
=-6（6分）
（2）设
=λ
，
则显然λ≠0
|
+
|2=
2+2
•
+
2
①当λ＞0时
|
+
|2=|
|2+2|
|•|
|cosθ+|
|2
=9+12cosθ•λ+4λ2（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴λ=-
cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|
+
|2min=
=
，
解得cosθ=-
（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时
|
+
|2=|
|2-2|
|•|
|cosθ+|
|2
=9+12cosθ•λ+4λ2（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴λ=-
cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|
+
|2min=
=
，
解得cosθ=
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）．
| OA |
| AB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OA |
| OA |
| OB |
=-|
| OA |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
（2）设
| OM |
| OB |
则显然λ≠0
|
| OA |
| OM |
| OA |
| OA |
| OM |
| OM |
①当λ＞0时
|
| OA |
| OM |
| OA |
| OA |
| OM |
| OM |
=9+12cosθ•λ+4λ2（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴λ=-
| 3 |
| 2 |
即cosθ＜0
故|
| OA |
| OM |
| 144-144cos2θ |
| 16 |
| 9 |
| 4 |
解得cosθ=-
| ||
| 2 |
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时
|
| OA |
| OM |
| OA |
| OA |
| OM |
| OM |
=9+12cosθ•λ+4λ2（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴λ=-
| 3 |
| 2 |
即cosθ＞0
故|
| OA |
| OM |
| 144-144cos2θ |
| 16 |
| 9 |
| 4 |
解得cosθ=
| ||
| 2 |
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模及二次函数的最值问题，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．
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（2012•卢湾区一模）已知
已知
、
是两个不共线的非零向量．
，
（t∈R），
，当A、B、C三点共线时，求t的值．
，
，
上一动点，设
（x，y∈R），求x+y的最大值．
、
是两个不共线的非零向量．
，
（t∈R），
，当A、B、C三点共线时，求t的值．
，
，
与
夹角为120°，|
|=|
|=1，点P是以O为圆心的圆弧
上一动点，设
（x，y∈R），求x+y的最大值．
、
是两个不共线的非零向量．
，
（t∈R），
，当A、B、C三点共线时，求t的值．
，
，
与
夹角为120°，|
|=|
|=1，点P是以O为圆心的圆弧
上一动点，设
（x，y∈R），求x+y的最大值．