Question

【题目】已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.

(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；

(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由二次函数的单调性易得 ，解关于的不等式组可得．
（2）分，最大值是最大值是三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是求出12-t的值，验证范围后即可得到答案．

(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．

∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即∴－20≤q≤12.

(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.

①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，∴t＝；

②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，

∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；

③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，

∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，

∴t＝9.

综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件.