Question

设A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别a，b，c.

m

=(sin

A

2

，-cos

A

2

)，

n

=(sin

A

2

，cos

A

2

)，a=2

3

，且

m

•

n

=-

1

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的坐标表示可得，

m•

n

=sin2

A

2

-cos2

A

2

=-cosA=-

1

2

，结合A为三角形的内角求A．
（2）利用面积公式S=

1

2

bcsinA，代入已知可求bc=4，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA．可求b+c．

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=sin2

A

2

-cos2

A

2

=-(cos2

A

2

-sin2

A

2

)=-cosA=-

1

2

，
∴cosA=

1

2

．（4分）
∵A为三角形内角，
∴A=

π

3

．（6分）
（Ⅱ）S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=

3

，∴bc=4．（8分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA．
即12=b²+c²-bc．（10分）
∴12=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12．
∴（b+c）²=24．
∴b+c=2

6

．（13分）

点评：本题以向量的数量积的坐标表示为载体，主要考查了二倍角的余弦，余弦定理，三角形的面积公式的综合运用，解决此类问题，不但要熟练掌握基本公式，基本运算，还要具备综合运用知识的推理的能力．