题目内容

【题目】选修:不等式选讲

已知函数f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.

(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;

(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求实数m的取值范围.

【答案】(1)(2)mm1.

【解析】试题分析:(Ⅰ)分三种情况讨论,分别求解不等式组,然后求并集即可得结果(Ⅱ)原不等式等价于f(x)min≤|3m+1|,求出的最小值,解关于的不等式,即可得结果.

试题解析:解:(Ⅰ)不等式f(x)<8,即|2x+3|+|2x﹣1|<8,

可化为①或②或③,…

解①得﹣<x<﹣,解②得﹣≤x≤,解③得<x<

综合得原不等式的解集为{x|-}.

(Ⅱ)因为∵f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|≥|(2x+3)﹣(2x﹣1)|=4,

当且仅当﹣≤x≤时,等号成立,即f(x)min=4,…

又不等式f(x)≤|3m+1|有解,则|3m+1|≥4,解得:m≤﹣或m≥1.

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