Question

（2013•镇江一模）已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

3

2

．不过A点的动直线y=

1

2

x+m交椭圆O于P，Q两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明P，Q两点的横坐标的平方和为定值；
（3）过点 A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的第二定义及其顶点坐标即可得出；
（2）把直线方程代人椭圆方程，利用根与系数的关系即可得出；
（3）解法一：设圆的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，则圆心为（-

D

2

，-

E

2

），利用弦的垂直平分线经过圆心、过定点A及经过点P、Q，即可求出定点．
解法二：设圆的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，将y=

1

2

x+m代入的圆的方程：

5

4

x2+(m+D+

E

2

)x+m2+mE+F=0   ⑤．方程①与方程⑤为同解方程得到.

1

5 4

=

2m

m+D+ E 2

=

2(m2-1)

m2+mE+F

，以下同解法一．

解答：（1）解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意得a=2，e=

3

2

．
∴c=

3

，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：设点P(

x

1

，y1)，Q(

x

2

，y2)
将y=

1

2

x+m代入椭圆，化简得：x²+2mx+2（m²-1）=0  ①，
∴x1+x2=-2m，x1x2=2(m2-1)，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=4，
∴P，Q两点的横坐标的平方和为定值4．
（3）（法一）设圆的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，则圆心为（-

D

2

，-

E

2

），
PQ中点M（-m，

m

2

），PQ的垂直平分线的方程为：y=-2x-

3

2

m，
圆心（-

D

2

，-

E

2

）满足y=-2x-

3

2

m，∴-

E

2

=D-

3

2

m  ②，
圆过定点（2，0），∴4+2D+F=0  ③，
圆过P(

x

1

，y1)，Q(

x

2

，y2)，则

x12+y12+Dx1+Ey1+F=0 x22+y22+Dx2+Ey2+F=0

两式相加得：x12+x22+y12+y22+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0，
x12+x22+(1-

x1

4

2)+(1-

x2

4

2)+D(x1+x2)+E(y1+y2)+2F=0，
∵y₁+y₂=m，∴5-2mD+mE+2F=0  ④．
∵动直线y=

1

2

x+m与椭圆C交与P，Q（均不与A点重合）∴m≠-1，
由②③④解得：D=

3(m-1)

4

，   E=

3

2

m+

3

2

， F=-

3

2

m-

5

2

，
代入圆的方程为：x2+y2+

3(m-1)

4

x+(

3

2

m+

3

2

)y-

3

2

m-

5

2

=0，
整理得：(x2+y2-

3

4

x+

3

2

y-

5

2

)+m(

3

4

x+

3

2

y-

3

2

)=0，
∴

x2+y2- 3 4 x+ 3 2 y- 5 2 =0 3 4 x+ 3 2 y- 3 2 =0

   解得：

x=0 y=1

或

x=2 y=0

（舍）．
所以圆过定点（0，1）．
（法二） 设圆的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将y=

1

2

x+m代入的圆的方程：

5

4

x2+(m+D+

E

2

)x+m2+mE+F=0   ⑤．
方程①与方程⑤为同解方程.

1

5 4

=

2m

m+D+ E 2

=

2(m2-1)

m2+mE+F

，
圆过定点（2，0），∴4+2D+F=0，
∵动直线y=

1

2

x+m与椭圆C交与P，Q（均不与A点重合）∴m≠-1．
解得：D=

3(m-1)

4

，E=

3

2

m+

3

2

，F=-

3

2

m-

5

2

，（以下相同）

点评：本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力．