Question

18．已知圆O的半径为1，点A，B，C是圆O上的动点，满足∠AOB=120°，$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），则m⁴+n⁴的取值范围[$\frac{2}{9}$，2]．

Answer 1

分析 利用已知条件，两边平方，结合基本不等式，可得0＜mn≤1，代入，利用配方法，即可求得结论

解答 解：设圆的半径为1，则由题意m≤0，n≤0
∵$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，|OC|=|OB|=|OA|=1，∠AOB=120°，
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}$=m²+n²+2mn•cos120°=m²+n²-mn=1，
∴m²+n²=1+mn≥2mn，m²+n²=1+mn≥-2mn，
∴-$\frac{1}{3}$≤mn≤1，
而m⁴+n⁴=（m²+n²）²-2m²n²=（1+mn）²-2m²n²=-（mn-1）²+2，
∵-$\frac{1}{3}$≤mn≤1，
∴-（mn-1）²+2∈[$\frac{2}{9}$，2]，
∴m⁴+n⁴∈[$\frac{2}{9}$，2]，
故答案为：[$\frac{2}{9}$，2]．

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．