题目内容
(2012•丰台区二模)在平面直角坐标系中,若点A,B同时满足:①点A,B都在函数y=f(x)图象上;②点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(规定点对(A,B)与点对(B,A)是同一个“姐妹点对”).那么函数f(x)=
的“姐妹点对”的个数为
|
1
1
;当函数g(x)=ax-x-a有“姐妹点对”时,a的取值范围是a>1
a>1
.分析:第一空:欲求f(x)的“姐妹点对”,只须作出函数y=x-4(x≥0)的图象关于原点对称的图象,观察它与函数y=x2-2x(x<0)交点个数即可.
第二空:构建函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,函数y=ax(a>0,且a≠1)关于原点对称的函数为y=-a-x,函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,可转化为函数y=x+a与y=-a-x只有一个交点,由此可得结论.
第二空:构建函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,函数y=ax(a>0,且a≠1)关于原点对称的函数为y=-a-x,函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,可转化为函数y=x+a与y=-a-x只有一个交点,由此可得结论.
解答:解:根据题意可知,欲求f(x)的“姐妹点对”,只须作出函数y=x-4(x≥0)的图象关于原点对称的图象,观察它与函数y=x2-2x(x<0)交点个数即可.
函数y=x-4(x≥0)关于原点对称的函数为y=x+4(x<0)
在同一坐标系作出函数的图象,观察图象可得:它们的交点个数是:1.
即f(x)的“姐妹点对”有:1个.
故答案为:1
当函数g(x)=ax-x-a有“姐妹点对”时:构建函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,函数y=ax(a>0,且a≠1)关于原点对称的函数为y=-a-x
∵函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,
∴函数y=x+a与y=a-x只有一个交点
∵a>1时,y=a-x单调减,与函数y=x+a图象只有一个交点;
0<a<1时,y=a-x单调减,与函数y=x+a图象没有交点;
此时有a>1;
故答案为a>1.
函数y=x-4(x≥0)关于原点对称的函数为y=x+4(x<0)
在同一坐标系作出函数的图象,观察图象可得:它们的交点个数是:1.
即f(x)的“姐妹点对”有:1个.
故答案为:1
当函数g(x)=ax-x-a有“姐妹点对”时:构建函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,函数y=ax(a>0,且a≠1)关于原点对称的函数为y=-a-x
∵函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,
∴函数y=x+a与y=a-x只有一个交点
∵a>1时,y=a-x单调减,与函数y=x+a图象只有一个交点;
0<a<1时,y=a-x单调减,与函数y=x+a图象没有交点;
此时有a>1;
故答案为a>1.
点评:本题考查新定义,考查函数的对称性,以及数形结合的思想,解答的关键在于对“姐妹点对”的正确理解,合理地利用图象法解决.考查学生分析转化问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目