题目内容
(2012•丰台区二模)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,Q是棱PA上的动点.
(Ⅰ)若Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ;
(Ⅱ)若PB=PD,求证:BD⊥CQ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若PA=PC,PB=3,∠ABC=60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
(Ⅰ)若Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ;
(Ⅱ)若PB=PD,求证:BD⊥CQ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若PA=PC,PB=3,∠ABC=60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
分析:(Ⅰ)利用三角形中位线的性质,证明OQ∥PC,再利用线面平行的判定,证明PC∥平面BDQ;
(Ⅱ)先证明BD⊥平面PAC,利用线面垂直的性质,可证BD⊥CQ;
(Ⅲ)先证明PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高,求出BO=
,PO=
,即可求四棱锥P-ABCD的体积.
(Ⅱ)先证明BD⊥平面PAC,利用线面垂直的性质,可证BD⊥CQ;
(Ⅲ)先证明PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高,求出BO=
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解答:(Ⅰ)证明:连接AC,交BD于O.
因为底面ABCD为菱形,所以O为AC中点.
因为Q是PA的中点,所以OQ∥PC,
因为OQ?平面BDQ,PC?平面BDQ,
所以PC∥平面BDQ. …(5分)
(Ⅱ)证明:因为底面ABCD为菱形,
所以AC⊥BD,O为BD中点.
因为PB=PD,所以PO⊥BD.
因为PO∩BD=O,所以BD⊥平面PAC.
因为CQ?平面PAC,所以BD⊥CQ. …(10分)
(Ⅲ)解:因为PA=PC,所以△PAC为等腰三角形.
因为O为AC中点,所以PO⊥AC.
由(Ⅱ)知PO⊥BD,且AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高.
因为四边形是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,所以BO=
,
所以PO=
.
所以VP-ABCD=
×2
×
=2
,即VP-ABCD=2
. …(14分)
因为底面ABCD为菱形,所以O为AC中点.
因为Q是PA的中点,所以OQ∥PC,
因为OQ?平面BDQ,PC?平面BDQ,
所以PC∥平面BDQ. …(5分)
(Ⅱ)证明:因为底面ABCD为菱形,
所以AC⊥BD,O为BD中点.
因为PB=PD,所以PO⊥BD.
因为PO∩BD=O,所以BD⊥平面PAC.
因为CQ?平面PAC,所以BD⊥CQ. …(10分)
(Ⅲ)解:因为PA=PC,所以△PAC为等腰三角形.
因为O为AC中点,所以PO⊥AC.
由(Ⅱ)知PO⊥BD,且AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高.
因为四边形是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,所以BO=
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所以PO=
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所以VP-ABCD=
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点评:本题考查线面平行,线面垂直,考查四棱锥的体积,解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方法,属于中档题.
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