Question

已知函数f(x)=sin(

π

2

+x)cosx-sinxcos(π-x)，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC边的长．

Answer 1

分析：（1）把f（x）利用诱导公式，二倍角的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数值化简得到一个角的正弦函数，利用周期的公式求出周期即可；
（2）根据f（A）=1利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinA=cosA即A=

π

4

，然后根据正弦定理即可求出AC的值．

解答：解：（1）由f(x)=sin(

π

2

+x)cosx-sinxcos(π-x)得到：
f（x）=cos²x+sinxcosx=

1+ cos2x

2

+

sin2x

2

=

2

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π；
（2）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1
移项得：sinAcosA=1-cos²A=sin²A，因为A为锐角，所以sinA≠0
∴sinA=cosA，则A=

π

4

根据正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

即

AC

sin π 3

=

2

sin π 4

，
所以AC=

2× 3 2

2 2

=

6

．

点评：考查学生灵活运用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，会利用正弦定理解决实际问题．