Question

若函数f（x）=

lnx

x

的图象恰与直线y=b有两个公共点，则实数b的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  e

  ）
• B．（-∞，

  1

  e

  ）
• C．（0，e）
• D．（e，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）=

lnx

x

，知x＞0，f′(x)=

1-lnx

x2

，由f′(x)=

1-lnx

x2

=0，得x=e．列表讨论知当x=e时，f（x）=

lnx

x

取极大值f（e）=

1

e

，由此能求出函数f（x）=

lnx

x

的图象恰与直线y=b有两个公共点时b的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

lnx

x

，
∴x＞0，f′(x)=

1-lnx

x2

，
由f′(x)=

1-lnx

x2

=0，得x=e．
列表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值 1 e	↓

∴当x=e时，f（x）=

lnx

x

取极大值f（e）=

1

e

，
∵函数f（x）=

lnx

x

的图象恰与直线y=b有两个公共点，
∴0＜b＜

1

e

．
故选A．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．