Question

已知等比数列{a_n}满足4a₁+a₃=4a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n-log₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得b_n=2ⁿ-n，再利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，∴2（a₃+2）=a₂+a₄．
又4a₁+a₃=4a₂，联立

4a1+a1q2=4a1q 2(a1q2+2)=a1q+a1q3

又a₁≠0，∴

a1=2 q=2

，
∴an=a 1•qn-1=2n．
（2）由（1），得bn=an-log2an=2n-log22n=2n-n．

∴Sn=b1+b2+…+bn=(21-1)+(22-2)+…+(2n-n) = 2×(1-2n) 1-2 - (1+n) 2 ×n=2n+1-2- 1 2 n2- 1 2 n

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式，属于中档题．