Question

（2012•泸州二模）已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，n=1，2，…，其中a，b均为正整数，且b₂=6，a₃=8，a＜b．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）数列对于{a_n}，{b_n}，存在关系式a_m+1=b_n，试求a₁+a₂+…+a_m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知b₂=6，a₃=8，a＜b，列出关于a，b的方程组求解即可．
（Ⅱ）先得出m=2^n-1．再根据等差数列前n项和公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由题设a_n=a+（n-1）b，b_n=b•a^n-1，
∵b₂=6，a₃=8，
∴ab=6，a+2b=8，
∴

a=2 b=3

或

a=6 b=1

，
∵a＜b，
∴

a=2 b=3

（Ⅱ）由（Ⅰ）数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n-1）×3=3n-1，
数列{b_n}的通项公式为b_n=3•2^n-1．
由a_m+1=b_n，得出3m=3•2^n-1，m=2^n-1．
∴a₁+a₂+…+a_m=（3•1-1+3•2-1+3•3-1）+…+（3•2^n-1-1）
=

[2+(3•2n-1-1)]•2n-1

2

=3•2^2n-3+2^n-2．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，等差数列前n项和公式．考查方程思想．