题目内容

3.已知函数$f(x)=\frac{2x}{x+1}$,函数g(x)=ax-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是$[\frac{1}{2},2]$.

分析 根据x的范围确定函数f(x)的值域和g(x)的值域,进而根据f(x1)=g(x2)成立,推断出A∩B≠∅,先看当二者的交集A∩B=∅时求得a的范围,进而可求得当集合的交集非空时a的范围.

解答 解:$f(x)=\frac{2x}{x+1}$=$\frac{2(x+1)-2}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$,
则函数f(x)在[0,1]为增函数,
则f(0)≤f(x)≤f(1),
即0≤f(x)≤1,即f(x)的值域为A=[0,1]
g(x)=ax-2a+2(a>0),在在[0,1]为增函数,
则g(0)≤g(x)≤g(1),
则2-2a≤g(x)≤2-a,即g(x)的值域为B=[2-2a,2-a]
若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,
则A∩B≠∅,
若A∩B=∅,
则$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{2-2a>1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{2-a<0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a<\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a>2}\end{array}\right.$,
解得0<a<$\frac{1}{2}$或a>2,
若A∩B≠∅,
则$\frac{1}{2}$≤a≤2,
故答案为:$[\frac{1}{2},2]$;

点评 本题主要考查了函数的最值,函数的值域问题,不等式的应用.解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围.

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