题目内容
【题目】设为奇质数,
、
是小于
的正整数.证明:
的充分必要条件是,对任何小于
的正整数
,均有
等于正奇数.
【答案】见解析
【解析】
必要性.
若,
是小于
的任一正整数,记
,
.
因为质数,故
、
皆不为整数.
因此,存在、
,使
,
.
相加得.
故为整数.
由于,则必有
.
从而,(奇数).
充分性.
若对任何小于的正整数
,均有
等于正奇数. ①
令,则
.
由必要性的讨论可知,对任何小于的正整数
,均有
等于正奇数.②
因此,由①、②,对任何小于的正整数
,均有
等于偶数.③
由式③进而可得,对任何正整数,均有
等于偶数.④
(事实上,设,
,则
等于偶数)
为证充分性,只须证.用反证法.
假设,不妨设
,则
.
因为奇质数,有
.因此,有正整数
与
,使
.
据此知,必为奇数,且
.⑤
显然,不等于整数(否则,若
等于整数,
由式⑤,为整数.因
,则
.从而,
等于整数.故
等于整数.矛盾).
由不等于整数,则
.
对式⑤两边取整得.
因此,为奇数,这与式④矛盾.
故原假设不真.
于是,,即
,所以,
.
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