Question

16．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l₁：2x-y-2=0与l₂：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线l方程为（　　）

• A． 6x-y-18=0
• B． 8x-y-24=0
• C． 5x-2y-15=0
• D． 8x-3y-24=0

Answer 1

分析 当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y=k（x-3），进而得出交点，根据点P为两交点的中点建立等式，求出k的值，从而求出所求．

解答 解：如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x=3，不合题意．
∴设所求的直线m方程为y=k（x-3），
∴分别联立直线m与l₁，l₂的方程得$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ x+y+3=0\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ 2x-y-2=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3k-3}{k+1}\\ y=\frac{-6k}{k+1}\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3k-2}{k-2}\\ y=\frac{4k}{k-2}\end{array}\right.$，
∴直线m与l₁，l₂的交点分别为（$\frac{3k-3}{k+1}，\frac{-6k}{k+1}$），（$\frac{3k-2}{k-2}，\frac{4k}{k-2}$）．
∵夹在两条直线l₁：x+y+3=0与l₂：2x-y-2=0之间的线段恰被点P平分，
∴$\frac{3k-3}{k+1}+\frac{3k-2}{k-2}=6$，且$\frac{-6k}{k+1}+\frac{4k}{k-2}=0$，
解得k=8，
∴所求的直线方程为y=8x-24．即8x-y-24=0，
故选：B．

点评 本题主要考查了直线的点斜式方程，交点坐标的求法以及中点坐标公式等知识，有一定的综合性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．