Question

【题目】求适合下列条件的曲线标准方程.

（1）虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；

（2）过点的抛物线的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】

（1）设双曲线的实轴长为，焦距为，根据题意求出、的值，再分双曲线的焦点在轴上和轴上两种情况讨论，可得出双曲线的标准方程；

（2）分两种情况讨论，抛抛物线的焦点在轴上和轴上，分别设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数值，即可得出所求抛物线的标准方程.

（1）设双曲线的实轴长为，焦距为，则，

双曲线的虚轴长为，可得，

当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；

当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.

综上所述，所求双曲线的标准方程为或；

（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，

此时，所求抛物线的标准方程为；

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，

此时，所求抛物线的标准方程为.

综上所述，所求抛物线的标准方程为或.