题目内容

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
⑤若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
分析：①把已知条件变形只能得到0＜B+C＜π推不出是钝角三角形；
②利用正弦定理化角为边可得a2+b2=c2，从而判定三角形的形状
③利用正弦定理化边为角整理可得sin（B-A）=0，即可得出结论
④先根据大角对大边得到a＞b，再结合正弦定理化边为角即可得到结论．
⑤直接根据△ABC为锐角三角形，得到A+B＞
π
2
⇒
π
2
＞A＞
π
2
-B⇒sinA＞sin（
π
2
-B）即可．
解答：解：①若sinBcosC＞-cosBsinC⇒sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）＞0⇒0＜B+C＜π，所以①不一定成立；
②∵sinA=
a
2r
，sinB=
b
2r
，sinC=
c
2r
，∴
a2
4r 2
+
b2
4r 2
=
c2
4r 2
，即a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，②成立，
③若bcosA=acosB⇒2rsinBcosA=2rsinAcosB⇒sin（B-A）=0⇒A=B即③成立．
④在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB即④成立；
⑤若△ABC为锐角三角形，A+B＞
π
2
⇒
π
2
＞A＞
π
2
-B⇒sinA＞sin（
π
2
-B）=cosB即⑤不成立．
故正确命题的是②③④．
故答案为：②③④．
点评：本题是对三角形形状的判断．解决②③④的关键在于对正弦定理的应用，属于基础题，但也是易错题．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，A+C=2B，则sinC=（　　）
A、0B、2C、1D、-1
△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
m
=(-
3
，sinA)，
n
=(cosA，1)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为
3
，求b，c．
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，B=60°，则sinC=
1
1
．

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