Question

【题目】已知且，函数.

（1）求的定义域及其零点；

（2）讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性；

（3）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .

【解析】试题分析：（1）由题意知，解不等式可得定义域，可得解析式，易得零点；（2）设， 是内的任意两个不相等的实数，且，可得，分类讨论可得；（3）要满足题意只需，易得，由二次函数分类讨论可得，解关于的不等式可得．

试题解析：（1）由题意知， ， ，解得.

∴函数定义域为.

令，得，解得，故函数的零点为.

（2）设， 是内的任意两个不相等的实数，且，则，

.

∵

∴，即

∴当时， ，故在上单调递减，当时， ，故在上单调递增.

（3）若对于任意，存在，使得成立，只需.

由（2）知当时， 在上单调递增，则.

①当时， ， 成立；

②当时， 在上单调递增， ，由，解得.

∴

③当时， 在上单调递减， ，由，解得.

∴

综上，满足条件的的范围是.