Question

数列的前n项和为,存在常数A,B,C,使得对任意正整数n都成立.
⑴若数列为等差数列,求证:3A B+C=0;
⑵若设数列的前n项和为,求;
⑶若C=0,是首项为1的等差数列,设数列的前2014项和为P,求不超过P的最大整数的值.

Answer 1

（1）详见解析，（2），（3）2014.

解析试题分析：（1）研究特殊数列问题，一般从其特征量出发. 因为为等差数列,设公差为,由,得,根据恒等式对应项系数相等得：所以代入得：. （2）本题实质为求通项. 因为,所以,当时,, 所以即即,而,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.由错位相减法得，（3）因为是首项为的等差数列,由⑴知,公差,所以.化简数列通项，再由裂项相消法得，所以不超过的最大整数为2014.
解 ⑴因为为等差数列,设公差为,由,
得,           2分
对任意正整数所以                   4分
所以  .                       6分
⑵ 因为,所以,
当时,,
所以即即,而,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.      9分
于是.所以①,,②
得.
所以.                                12分
⑶ 因为是首项为的等差数列,由⑴知,公差,所以.
而
,                    14分
所以不超过的最大整数为2014.                         16分
考点：求数列通项，错位相减法及裂项相消法求和