题目内容

（2012•上饶一模）在△ABC中，A，B，C所对的边是a，b，c，tanC=
sinA+sinBcosA+cosB
．
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）若a=2，当sinA+sinB取最大值时，求△ABC的面积．
分析：（I）由tanC=
sinA+sinB
cosA+cosB
．得sin（C-A）=sin（B-C），故C-A=B-C，C=
π
3
，由sin（B-A）=cosC，求得sin(
2π
3
-2A)=
1
2
，A=
π
4
．
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=
3
sin(A+
π
6
)，故当A=
π
3
时，ymax=
3
，可得△ABC为等边三角形，从而求得它的面积．
解答：解：（I）由tanC=
sinA+sinB
cosA+cosB
．得sin（C-A）=sin（B-C），∴C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不合题意，舍去），∴C=
π
3
．…（4分）
由sin（B-A）=cosC，得sin(
2π
3
-2A)=
1
2
，
∴A=
π
4
．…（6分）
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=sinA+sin(
2π
3
-A)=
3
sin(A+
π
6
)，
∴当A=
π
3
时，ymax=
3
．…（9分）
∴△ABC为等边三角形，…（10分）
∴S△ABC=
3
4
•a2=
3
．…（12分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角形中的几何计算，属于中档题．
练习册系列答案
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（2012•上饶一模）设点P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是（　　）
（2012•上饶一模）关于x的方程：（x2-1）2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题，其中真命题的个数有（　　）
（1）存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
（2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
（3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
（4）存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
（2012•上饶一模）实数x，y满足不等式组
y≥0
x-y≥0
2x-y-2≤0
，则ω=
y-1
x+1
的取值范围是
[-1，
1
3
]
[-1，
1
3
]
．
（2012•上饶一模）f(x)=sin
π
3
x-
3
cos
π
3
x，则f（1）+f（2）+…+f（2012）=
3
3
．
（2012•上饶一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=a，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三棱锥P-DEF的体积．

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