Question

7．已知函数f（x）=-cos²x-sinx+1，若$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，f（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，则sin（α+β）值为$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$．

Answer 1

分析 由平方关系可得f（x）=-cos²x-sinx=sin²x-sinx，分别化简f（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，f（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，求出sin（$\frac{π}{4}$+α）和sin（$\frac{3π}{4}+β$）的值，根据α、β的范围和正弦函数的性质进行取舍，由平方关系分别求出cos（$\frac{π}{4}$+α）、cos（$\frac{3π}{4}+β$）的值，由两角和的正弦公式求出sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]的值，利用诱导公式化简得到答案．

解答 解：由题意得，f（x）=-cos²x-sinx=sin²x-sinx，
所以f（$\frac{π}{4}$+α）=sin²（$\frac{π}{4}$+α）-sin（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{4}{25}$，
则sin²（$\frac{π}{4}$+α）-sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{4}{25}$=0，
即[sin（$\frac{π}{4}$+α）-$\frac{4}{5}$][sin（$\frac{π}{4}$+α）-$\frac{1}{5}$]=0，
解得sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{4}{5}$或sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{5}$，
因为$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{2}＜$$\frac{π}{4}$+α$＜\frac{3π}{4}$，则sin（$\frac{π}{4}$+α）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{4}{5}$，则cos（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{3}{5}$，
同理f（$\frac{3π}{4}$+β）=sin²（$\frac{3π}{4}$+β）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{169}$，
则sin²（$\frac{3π}{4}$+β）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）+$\frac{12}{169}$=0，
即[sin（$\frac{3π}{4}$+β）-$\frac{12}{13}$][sin（$\frac{3π}{4}$+β）-$\frac{1}{13}$]=0，
解得sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$或sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{1}{13}$，
因为0＜β＜$\frac{π}{4}$，所以$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，则sin（$\frac{3π}{4}$+β）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{1}{13}$，则cos（$\frac{3π}{4}$+β）=$-\frac{2\sqrt{42}}{13}$
则sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{3π}{4}$+β）+cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{3π}{4}$+β）
=$\frac{4}{5}$×（$-\frac{2\sqrt{42}}{13}$）+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{13}$=$-\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$，
所以sin（α+β）=-sin（π+α+β）=$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{42}+3}{65}$．

点评 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的性质、符号，注意三角函数的符号，考查化简、计算能力．