Question

19．已知sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，且$\frac{π}{2}＜α＜\frac{3π}{4}$，求tan（2$α+\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由α的范围求出$α-\frac{π}{4}$的范围，得到$cos（α-\frac{π}{4}）$的值，利用两角和的正弦求得sinα，进一步得到tanα，再由倍角公式求得tan2α，最后展开两角和的正切得答案．

解答 解：∵$\frac{π}{2}＜α＜\frac{3π}{4}$，∴$\frac{π}{4}＜α-\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}$，
又sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，∴cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{4}）}=\sqrt{1-（\frac{7\sqrt{2}}{10}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴sinα=sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（$α-\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$α-\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{5}$，∴cos$α=-\frac{3}{5}$，则tanα=$-\frac{4}{3}$．
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×（-\frac{4}{3}）}{1-（-\frac{4}{3}）^{2}}=\frac{24}{7}$
则tan（2$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+tan\frac{π}{4}}{1-tan2α•tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{24}{7}+1}{1-\frac{24}{7}}=-\frac{31}{17}$．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了两角和的正弦、正切公式，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．