Question

20．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且满足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
（1）求证tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$
（2）将tanβ表示成tanα的函数关系式；
（3）求tanβ的最大值，并求tanβ取最大值时tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由两角和的余弦函数公式化简已知等式后，移项根据同角三角函数关系式即可证明．
（2）由（1）结论根据二倍角公式和万能公式即可化简得解．
（3）由（2）可得tanβ=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由$\frac{1}{tanα}=2tanα$可解得tanα，即可根据两角和的正切函数公式求解．

解答 解：（1）α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且满足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
⇒sinβ=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ
⇒sinβ（1+sin²α）=sinαcosαcosβ
⇒tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$．得证．
（2）由（1）可得tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{\frac{3-cos2α}{2}}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$=$\frac{\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}}{3-\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$．
（3）由（2）可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（当且仅当$\frac{1}{tanα}=2tanα$时），
即tanβ的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
由$\frac{1}{tanα}=2tanα$可得：tan²α=$\frac{1}{2}$，解得：tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以tanβ取最大值时：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数关系式，二倍角公式，万能公式，两角和的正切函数公式以及基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．