题目内容

（2012•黄浦区一模）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的棱AB=BC=AC=4，AA1=2，如图所示，则异面直线AB1与BC1所成的角是
arccos
1
5
arccos
1
5
（结果用反三角函数值表示）．
分析：设
AB1
与
BC1
所成的角为 θ，求出cosθ=
AB1
•
BC1
|
AB1
|•|
BC1
|
 的值，即可求得θ 的值，从而求得异面直线AB1与BC1所成的角．
解答：解：由题意可得
AB1
=
AB
+
BB1
=
AB
+
AA1
，
BC1
=
BC
+
CC1
=
BC
+
AA1
．
∴
AB1
•
BC1
=（
AB
+
AA1
 ）•（
BC
+
AA1
 ）=
AB
•
BC
+
AA1
•
BC
+
AB
•
AA1
+
AA1
2=4×4cos120°+0+0+4=-4．
设
AB1
与
BC1
所成的角为 θ，则有cosθ=
AB1
•
BC1
|
AB1
|•|
BC1
|
=
-4
16+4
•
16+4
=-
1
5
，
∴θ=π-arccos
1
5
，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos
1
5
．
故答案为 arccos
1
5
．
点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，两个向量夹角公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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（2012•黄浦区一模）若0＜α＜
π
2
＜β＜π，sinα=
3
5
，sin（α+β）=
5
13
，则cosβ=
-
33
65
-
33
65
．
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（2）求四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD．
（2012•黄浦区一模）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，有f（x）=
2
π
|x-π| (x＞
π
2
)
sinx  (0≤x≤
π
2
)
关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin（
π
3
+α）=
-
1
2
-
1
2
．
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2
倍后得到点Q（x，
2y
）满足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-
2
2
的直线i交曲线C于M、N两点，且满足
OM
+
ON
+
OH
=
0
（O为坐标原点），试判断点H是否在曲线C上，并说明理由．
（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*）．
（1）求证数列{bn}是等比数列；
（2）已知数列{cn}满足cn=
an3n
（n∈N*），试建立数列{cn}的递推公式（要求不含an或bn）；
（3）若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．

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