题目内容
【题目】如图,在梯形
中,
于
,
.将
沿
折起至
,使得平面
平面
(如图2),
为线段
上一点.
图1 图2
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若为线段
中点,求多面体
与多面体
的体积之比;
(Ⅲ)是否存在一点,使得
平面
?若存在,求
的长.若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)折起后仍有,由面面垂直的性质可得
平面
,
平面
,
;(Ⅱ)直接求出三棱锥
的体积,利用分割法求出
,从而可得结果;(Ⅲ)根据三角形相似可得
,由线面平行的性质定理可得
,由中位线定理可得
,
,
在
中,
,
.
试题解析:(Ⅰ)在梯形中,因为
,所以
,
平面
平面
,
平面
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
.
(Ⅱ)为
中点,
到底面
的距离为
,
在梯形中,
,
,
.
,
在
中,
,
平面
,
平面
,
平面
平面
,
平面
平面
,
,
到平面
的距离为
.
,
.
.
(Ⅲ)连结交
于
,连结
,
在四边形中,
,
,
,
平面
,平面
平面
,
,
在中,
,
,
,
在
中,
,
.
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