Question

9．数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，若对任意的n∈N^*，都有$\frac{11}{6}$log_（a-1）a-$\frac{11}{3}$log_a（a-1）＞a_n，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意化简a_n+1-a_n后，根据符号判断出数列{a_n}的单调性，并求出它的最大项，利用对数的运算将恒成立的不等式化简，利用底数的范围求出a的范围，再根据对数函数的单调性对底数分类讨论，分别利用对数函数的单调性列出关于a的不等式，利用构造函数法和导数求出实数a的取值范围．

解答 解：因为a_n=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
所以a_n+1-a_n=（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$）-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2n+2}$+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{-5n-6}{n（2n+2）（2n+3）}$＜0，
则a_n+1＜a_n，即数列{a_n}是递减数列，最大项是a₁=1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{11}{6}$，
因为对任意的n∈N^*，都有$\frac{11}{6}$log_（a-1）a-$\frac{11}{3}$log_a（a-1）＞a_n，
所以$\frac{11}{6}$log_（a-1）a+$\frac{11}{3}$log_（a-1）a＞$\frac{11}{6}$，
3log_（a-1）a＞1=log_（a-1）（a-1），①
由$\left\{\begin{array}{l}{a＞0且a≠1}\\{a-1＞0且a-1≠1}\end{array}\right.$得，a＞1且a≠2，
（1）当0＜a-1＜1时，此时1＜a＜2，①化为a³＜a-1，
设g（a）=a³-a+1，g′（a）=3a²-1，
则当1＜a＜2时，g′（a）=3a²-1＞0，
所以函数g（a）在（1，2）上递增，则g（a）＞g（1）=1＞0，
所以a³-a+1＞0，即a³＞a-1在（1，2）上恒成立；
（2）当a-1＞1时，此时a＞2，①化为a³＞a-1，
由（1）可知，函数g（a）在（2，+∞）上递增，则g（a）＞g（2）=7＞0，
所以a³-a+1＞0，即a³＞a-1在（2，+∞）上恒成立，
综上可得，实数a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查数列与不等式相结合，以及构造法、函数与导数的关系的应用，考查分析问题与解决问题的能力，转化思想的应用．