题目内容

已知(3x+y)2001+x2001+4x+y=0,则4x+y的值为________..

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分析:结合条件(3x+y)2001+x2001+4x+y=0和要求的结论(4x+y的值)可将条件等价变形为(3x+y)2001+(3x+y)+x2001+x=0,故可构造函数f(x)=x2001+x即可将条件等价变形为f(3x+y)+f(x)=0再结合f(x)的单调性和奇偶性即可解题.
解答:构造函数f(x)=x2001+x,则(3x+y)2001+(3x+y)+x2001+x=0
∴f(3x+y)+f(x)=0
∵f(-x)=-(x2001+x)=-f(x)且定义域为R关于原点对称
∴f(x)的奇函数
∴f(3x+y)=f(-x)
又易得f(x)=x2001+x为R上的单调递增函数
∴3x+y=-x
∴4x+y=0
故答案为0
点评:本题主要考查了函数的单调性和奇偶性.解题的关键是要构造函数f(x)=x2001+x否则此题很难求解.
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