Question

14．（1）已知圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0，试判断圆C₁与圆C₂的关系？
（2）已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为4$\sqrt{5}$，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系判断即可．
（2）求出圆心到直线的距离，设出直线方程，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由于 圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，即 （x+1）²+（y+4）²=25，
表示以C₁（-1，-4）为圆心，半径等于5的圆．圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0，即 （x-2）²+（y-2）²=10，表示以C₂（2，2）为圆心，半径等于10的圆．
由于两圆的圆心距等于$\frac{\root{3}{{3}^{2}+{6}^{2}}}{5}$，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交．
（2）x²+y²+4y-21=0的圆心（0，-2），半径为5，弦心距为：d．
利用勾股定理d²=R²-（$2\sqrt{5}$）²=5，
∴d=$\sqrt{5}$．
设过点M（-3，-3）的直线方程为y+3=k（x+3），即：kx-y+（3k-3）=0，
利用点到直线的距离公式得：$\frac{|3k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴9k²-6k+1=5k²+5，
∴4k²-6k-4=0，
∴2k²-3k-2=0，
∴k=2或k=-$\frac{1}{2}$，
（1）当k=2时，直线方程为：2x-y+（3*2-3）=0，即2x-y+3=0，
（2）当k=-$\frac{1}{2}$时，直线方程为：-$\frac{1}{2}$x-y+[3×（$-\frac{1}{2}$）-3]=0，即x+2y+9=0．

点评 本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，垂径定理的应用，考查计算能力．