Question

关于函数f(x)=

x2+1

|x|

(x∈R，x≠0)，有下列命题：
（1）函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
（2）在区间（-∞，0）上，f（x）是减函数；
（3）函数y=f（x）的最小值是2；
（4）在区间（1，+∞）上，f（x）是增函数．
其中正确的命题是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：由f(x)=

x2+1

|x|

(x∈R，x≠0)是偶函数，知函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
再由函数f（x）=|x|+

1

|x|

的单调性可判其他命题．

解答：解：∵函数f(x)=

x2+1

|x|

(x∈R，x≠0)，显然f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故（1）正确；
当x≠0时，f（x）=|x|+

1

|x|

，令t=|x|，则y=f（x）=t+

1

t

，故y′=1-

1

t2

令y′＞0时，t＞1；令y′＜0时，0＜t＜1；
可知当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增；
当x∈（-1，0）时，f（x）单调递减，当x∈（-∞，-1）时，f（x）单调递增．
即在x=1处取到极小值为2，无极值．
故（2）错误，（3）不正确，（4）正确．
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．