Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{3}（4x-1）}$$+\sqrt{16-{2}^{x}}$的定义域为A．
（1）求集合A；
（2）若函数g（x）=（log₂x）²-2log₂x-1，且x∈A，求函数g（x）的最大最小值和对应的x值．

Answer 1

分析 （1）要使函数有意义，必须4x-1＞0，log₃（4x-1）≥0，16-2^x≥0，解不等式可得集合A；
（2）令log₂x=t（-1≤t≤2），即有函数y=（log₂x）²-2log₂x-1=t²-2t-1，配方由二次函数的最值求法，即可得到最值．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{4x-1＞0}\\{lo{g}_{3}（4x-1）≥0}\\{16-{2}^{x}≥0}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{4}}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{x≤4}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤x≤4，
即集合A=[$\frac{1}{2}$，4]；
（2）令log₂x=t（-1≤t≤2），
即有函数y=（log₂x）²-2log₂x-1=t²-2t-1
=（t-1）²-2，
当t=1，即x=2时，取得最小值-2；
当t=-1即x=$\frac{1}{2}$时，取得最大值2．

点评 本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负和对数的真数大于0，同时考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数的单调性，属于中档题．