Question

（2013•眉山二模）在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=(2b-c，cosC)，

n

=(a，cosA)，且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（I）根据向量平行的坐标表示式列出等式，再由正弦定理和诱导公式化简整理，可得2sinBcosA=sinB，结合三角形内角的正弦为正数，得到cosA=

1

2

，从而得到A=

π

3

．
（II）对函数进行降次，再用辅助角公式合并整理，可得y=sin（2B-

π

6

）+1，然后依据B为钝角或C为钝角讨论B的范围，分别得到函数的值域，最后综合可得本题的答案．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

得，（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，即2sinBcosA-sinB=0，可得2sinBcosA=sinB
∵B∈（0，π），sinB为正数
∴2cosA=1，得cosA=

1

2

，结合A∈（0，π），得A=

π

3

…（5分）
（Ⅱ）y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=1-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=sin（2B-

π

6

）+1…（7分）
①当角B为钝角时，可得B∈（

π

2

，

2π

3

），2B-

π

6

∈（

5π

6

，

7π

6

）
∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

），得y∈（

1

2

，

3

2

）…（10分）
②当角B为锐角时，角C为钝角，即C=

2π

3

-B∈（

π

2

，π），所以B∈（0，

π

6

）
∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

π

6

），sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

），得y∈（

1

2

，

3

2

）…（13分）
综上所以，函数y=2sin2B+cos（

π

3

-2B）的值域为（

1

2

，

3

2

）…（14分）

点评：本题以平面向量平行为载体，求三角形的内角A并求关于角B的三角函数式的值域，着重考查了平面向量数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用和解三角形等知识，属于中档题．