题目内容
（2013•眉山二模）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1-x2|的取值范围为（ ）
分析：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=-
，x1x2=
，于是求|x1-x2|2
=
，又a+b+c=0，从而有|x1-x2|2=
•(
)2+
（
）+
①，又f（0）•f（1）＞0，可求得-2＜
＜-1，代入①即可求得|x1-x2|2的范围，从而得到选项．
| 2b |
| 3a |
| c |
| 3a |
=
| 4b2-12ac |
| 9a2 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
| b |
| a |
解答：解：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=-
，x1x2=
，
∴|x1-x2|2=(x1+x2) 2-4x1•x2=
，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴|x1-x2|2=
=
=
•(
)2+
（
）+
①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得：
(
)2+3
+2＜0；
∴-2＜
＜-1，代入①得|x1-x2|2∈[
，
）
∴|x1-x2|∈[
，
）．
故选A．
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=-
| 2b |
| 3a |
| c |
| 3a |
∴|x1-x2|2=(x1+x2) 2-4x1•x2=
| 4b2-12ac |
| 9a2 |
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴|x1-x2|2=
| 4b2+12a(a+b) |
| 9a2 |
| 12a2+4b2+12ab |
| 9a2 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得：
(
| b |
| a |
| b |
| a |
∴-2＜
| b |
| a |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
∴|x1-x2|∈[
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．
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