Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0.

（1）求曲线C的方程；

（2）若动直线均与椭圆C相切，且，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） ;（2） 定点B为（-1,0）和（1,0）.

【解析】

试题分析：（1）设，代入向量的坐标运算，根据最小值可得的值，而，这样求得椭圆方程;（2）当直线斜率存在时，设其方程分别为y=kx+m，y=kx+n，得到，直线与椭圆方程联立，得到，又代入点到直线的距离之积等于1，化简后等式恒成立，得到点的坐标，验证当两条直线的斜率不存在时，同样满足.

试题解析：（1）设P（x,y），则有

，

由的最小值为0得，∴，

∴椭圆C的方程为.

（2）①当直线斜率存在时，设其方程分别为y=kx+m，y=kx+n，

把的方程代入椭圆方程得，

∵直线与椭圆C相切，，

化简得，同理，，∴，若m=n，则重合，不合题意，∴m=-n，

设在x轴上存在点B（t,0），点B到直线的距离之积为1，则

，即，

把代入并去绝对值整理得：或，

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立，则，解得.

②当直线斜率不存在时，其方程为和，定点（-1,0）到直线的距离之积为，

综上所述，满足题意的定点B为（-1,0）和（1,0）.