题目内容
如图,在直三棱柱中,,,是的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)(理科)试问线段上是否存在点,使与成 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由.
【答案】
(Ⅰ)证明:连结,交于点,连结.
由 是直三棱柱,
得 四边形为矩形,为的中点.
又为中点,所以为中位线,
所以 ∥,
因为 平面,平面,
所以 ∥平面. ………………4分
(Ⅱ)解:由是直三棱柱,且,故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
设,则.
所以 ,
设平面的法向量为,则有
所以 取,得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角,得 . ………………8分
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)解:假设存在满足条件的点.
因为在线段上,,,故可设,其中.
所以 ,.
因为与成角,所以.
即,解得,舍去.
所以当点为线段中点时,与成角. ………………12分
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