题目内容

 

如图,在直三棱柱中,的中点.

(Ⅰ)求证:∥平面;   (Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)(理科)试问线段上是否存在点,使 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

(Ⅰ)证明:连结,交于点,连结

是直三棱柱,

得 四边形为矩形,的中点.

中点,所以中位线,

所以

因为 平面平面

所以 ∥平面.   ………………4分

(Ⅱ)解:由是直三棱柱,且,故两两垂直.

如图建立空间直角坐标系

,则

所以

    设平面的法向量为,则有

所以  取,得

易知平面的法向量为

由二面角是锐角,得 .     ………………8分

所以二面角的余弦值为

(Ⅲ)解:假设存在满足条件的点

因为在线段上,,故可设,其中

所以

因为角,所以

,解得,舍去

所以当点为线段中点时,角.        ………………12分

 

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