题目内容
设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、f(
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、f(
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（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．
（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(
)=f(1)=0，
得f(
)=2．
（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(
)，
因
＞1，由（2）知f(
)＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
)
其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：
，
由此解得x的范围是(1-
，1+
)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞
且0＜x＜2，
得k＞
，此不等式有解，等价于k＞[
]min，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）max=1，
故k＞
即为所求范围．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(
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得f(
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（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(
| x2 |
| x1 |
因
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
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其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：
|
由此解得x的范围是(1-
2
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2
| ||
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（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞
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得k＞
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| 9x(2-x) |
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| 9x(2-x) |
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）max=1，
故k＞
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