Question

若正数a,b,c满足a+b+c=1,

(1)求证:≤a2+b2+c2<1.

(2)求++的最小值.

 

Answer 1

(1)见解析 (2)

【解析】(1)由已知易得0<a,b,c<1,则a-a2=a(1-a)>0,即a>a2.

同理可得b>b2,c>c2,则a2+b2+c2<a+b+c=1,

由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(1+1+1)≥(a+b+c)2=1(当且仅当a=b=c时取“=”),

即有a2+b2+c2≥(当a=b=c=时取“=”),

综上有≤a2+b2+c2<1.

(2)由a+b+c=1,

可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,

且2a+1,2b+1,2c+1均为正数,

则++=(++)(2a+1+2b+1+2c+1),

由柯西不等式可得(++)(2a+1+2b+1+2c+1)

≥(++

)2=9(当且仅当a=b=c时取“=”),

故++的最小值为,

等号当且仅当a=b=c=时取到.