题目内容

已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，
1
2
），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y），满足
0≤
OP
•
OM
≤1，0≤
OP
•
ON
≤1．则
OP
•
OQ
的最大值为
4
4
．
分析：利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P的坐标满足的不等式，将 
OP
•
OQ
的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．
解答：解：由题得：
OM
=(1，
1
2
)，
OP
=（x，y），
ON
=（0，1），
OQ
=（2，3）．
∵0≤
OP
•
OM
≤1，0≤
OP
•
ON
≤1．
∴
0≤ x+
1
2
y≤ 1
0≤y≤1
⇒
0≤2x+y≤2
0≤y≤1

∵
OP
•
OQ
=2x+3y=（2x+y）+2y；
∴
OP
•
OQ
∈[0，4]．
∴所求最大值为4．
故答案为：4．
点评：本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．
练习册系列答案
相关题目
选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点A(1，
1
2
)，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ为参数），以ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
6
)=0，则圆C截直线l所得的弦长为
4
2
4
2
．
已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），动点M（x，y）满足条件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，则z=
OM
•
OC
的最大值为（　　）
A、-1B、0C、3D、4
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．

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