Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：
（1）f（x）在[a，b]内是单调函数；
（2）f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“美丽区间”．
下列函数中存在“美丽区间”的是

①③④

 （只需填符合题意的函数序号）．
①f（x）=x²（x≥0）；   ②f（x）=e^x（x∈R）； ③f（x）=

1

x

(x＞0)；     ④f（x）=

4x

x2+1

(x≥0)．

Answer 1

分析：根据函数中存在“美丽区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

，对四个函数分别研究，从而确定存在“美丽区间”的函数．

解答：解：①．若f（x）=x²（x≥0），若存在“美丽区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“美丽区间”[0，2]，∴①正确．
②，若f（x）=e^x（x∈R），若存在“美丽区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

ea=2a eb=2b

，
即a，b是方程e^x=2x的两个不等的实根，
构建函数g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“美丽区间”，∴②不正确；
③，∵f（x）=

1

x

，在（0，+∞）上是减函数，若存在“美丽区间”[a，b]，
则

f(a)=2b f(b)=2a

，得

1 a =2b 1 b =2a

，
∴满足ab=

1

2

的区间[a，b]都是“美丽区间”，故③正确；
④．若函数f（x）=

4x

x2+1

（x≥0），
f′（x）=

4(x2+1)-4x•2x

(x2+1)2

=

4(1-x)(x+1)

(x2+1)2

，
若存在“美丽区间”[a，b]⊆[0，1]，
则由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，
∴a=0，b=1，
∴存在“美丽区间”[0，1]，∴④正确．
故答案是①③④．

点评：本题主要考查了与函数的性质有关的新定义问题，涉及知识点较多，综合性强，难度较大．