题目内容
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1C1、BC的中点,AC=4,CB=2,AA1=,若平面ABE⊥平面BB1C1C(I)FC1∥平面ABE
(II)求证AB⊥BC
(III)求三棱锥C1-BEF的体积.
【答案】分析:(I)取AB中点D,连接ED,DF,证明FC1∥ED,可得FC1∥平面ABE
(II)取B1C1的中点G,连接EG,GB,过C作CH⊥GB于H,证明AB⊥平面BB1C1C,可得AB⊥BC;
(III)由AB⊥平面BB1C1C,可得EG⊥平面BB1C1C,即EG即为三棱锥C1-BEF的底面C1BE上的高,求现底面面积和高,代入棱锥的体积公式,可得三棱锥C1-BEF的体积
解答:证明:(I)证明:取AB中点D,连接ED,DF,则DF∥EC1,且DF=EC1,
∴FC1∥ED
∵FC1?平面ABE,ED?平面ABE
∴FC1∥平面ABE
(II)取B1C1的中点G,连接EG,GB,
则EG∥AB,GB是平面ABE与平面BB1C1C的交线
过C作CH⊥GB于H,则∵平面ABE⊥平面BB1C1C
∴CH⊥平面ABE,∴CH⊥AB
∵CC1⊥AB,CC1∩CH=C
∴AB⊥平面BB1C1C
∵BC?平面BB1C1C
∴AB⊥BC
解:(III)∵AB⊥BC
∴AB=2
∴EG=
∵AB⊥平面BB1C1C
∴EG⊥平面BB1C1C
∴=1
∴==
点评:本题考查线面垂直,考查线面平行,考查面面角,棱锥的体积,熟练掌握空间线面关系的判定,性质及几何特征和相互转化是解答的关键.
(II)取B1C1的中点G,连接EG,GB,过C作CH⊥GB于H,证明AB⊥平面BB1C1C,可得AB⊥BC;
(III)由AB⊥平面BB1C1C,可得EG⊥平面BB1C1C,即EG即为三棱锥C1-BEF的底面C1BE上的高,求现底面面积和高,代入棱锥的体积公式,可得三棱锥C1-BEF的体积
解答:证明:(I)证明:取AB中点D,连接ED,DF,则DF∥EC1,且DF=EC1,
∴FC1∥ED
∵FC1?平面ABE,ED?平面ABE
∴FC1∥平面ABE
(II)取B1C1的中点G,连接EG,GB,
则EG∥AB,GB是平面ABE与平面BB1C1C的交线
过C作CH⊥GB于H,则∵平面ABE⊥平面BB1C1C
∴CH⊥平面ABE,∴CH⊥AB
∵CC1⊥AB,CC1∩CH=C
∴AB⊥平面BB1C1C
∵BC?平面BB1C1C
∴AB⊥BC
解:(III)∵AB⊥BC
∴AB=2
∴EG=
∵AB⊥平面BB1C1C
∴EG⊥平面BB1C1C
∴=1
∴==
点评:本题考查线面垂直,考查线面平行,考查面面角,棱锥的体积,熟练掌握空间线面关系的判定,性质及几何特征和相互转化是解答的关键.
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