题目内容
【题目】已知函数.
(1)若是函数
的极值点,求a的值;
(2)当时,证明:
.
【答案】(1)(2)证明见解析;
【解析】
(1)求出函数的导数,根据极值的定义,得到关于a的方程,解出验证即可;
(2)根据不等式的性质,问题转化为只需证明,
令,对函数
求导,然后判断出函数
的单调性,最后利用函数的单调性,结合零点存在原理进行求解即可.
解:(1),
由题意知 ,
又设
显然当时,
,因此函数
是增函数,
而,所以当
时,
单调递减,
当时,
单调递增,故
是函数
的极小值点,故
符合题意;
(2)当时,对于
时,有
,
即,
故要证明,只需证明
,
令,即只需证明
则有,
设
则显然当时,
,因此函数
是增函数,
,
故存在,使得
,即
,
因此当时,
单调递减,
当时,
单调递增,
所以有
又,∴
,
设
则
单调递减,
因此有
故,故
原不等式得证.
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